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第82章（第2页）

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林云的分享让粉丝们受益匪浅，大家开始在群里讨论起自己学习数学的心得和困惑，群里的氛围变得异常热烈。

林云也沉浸在这种浓厚的学习交流氛围中，他一边回答着粉丝们的问题，一边回忆着自己学生时代为了攻克一道道数学难题而废寝忘食的日子。

过了一会儿，又有粉丝发了一道新的数学题，这是一道关于多元函数极值的问题：

已知函数z=f（x，y）=x^3+y^3-3xy，求函数z在闭区域D：xgeq0，ygeq0，x+yleq2上的最大值和最小值。

林云看着这道题，再次拿起笔，在纸上开始分析。

首先，求函数z在区域D内的驻点。

分别对x和y求偏导数：

z_x=3x^2-3y，z_y=3y^2-3x。

令z_x=0，z_y=0，得到方程组：

begin{cases}3x^2-3y=03y^2-3x=0end{cases}

由3x^2-3y=0可得y=x^2，将其代入3y^2-3x=0中，得到：

3（x^2）^2-3x=0，即3x^4-3x=0，提取公因式3x得3x（x^3-1）=0。

解得x=0或x=1。

当x=0时，y=0；当x=1时，y=1。

所以函数z在区域D内有两个驻点（0，0）和（1，1）。

接着，求函数z在区域D边界上的最值。

边界x=0（0leqyleq2）上，z=f（0，y）=y^3，z^prime=3y^2geq0，所以z在[0，2]上单调递增，z（0）=0，z（2）=8。

边界y=0（0leqxleq2）上，z=f（x，0）=x^3，z^prime=3x^2geq0，所以z在[0，2]上单调递增，z（0）=0，z（2）=8。

边界x+y=2（xgeq0，ygeq0）上，y=2-x，将其代入z=f（x，y）中得：

z=f（x，2-x）=x^3+（2-x）^3-3x（2-x）

展开并化简：

begin{align*}

z&=x^3+（8-12x+6x^2-x^3）-（6x-3x^2）

&=x^3+8-12x+6x^2-x^3-6x+3x^2

&=9x^2-18x+8

end{align*}

对z=9x^2-18x+8求导得z^prime=18x-18，令z^prime=0，解得x=1，此时y=1，z（1）=9-18+8=-1。

最后，比较驻点和边界上的函数值：

f（0，0）=0，f（1，1）=1+1-3=-1，f（2，0）=8，f（0，2）=8。

所以函数z在闭区域D上的最大值为8，最小值为-1。

林云完成了解题过程，再次拍照上传到群里。

粉丝们看到答案后，又是一阵惊叹和夸赞。

“云宝，你简直就是数学大神啊，这解题过程太详细了！”

“跟着云宝学数学，感觉数学都变得简单了。”

“云宝，你是不是偷偷去数学系进修了，这水平绝了！”

林云看着群里的消息，笑着回复道：“大家别夸啦，我就是把自己的思路分享给大家，一起进步嘛。

数学其实很有趣，只要掌握了方法，就能发现其中的乐趣。”

在接下来的时间里，林云继续和粉丝们在群里交流着数学知识和学习经验。

他的耐心解答和专业分析，让粉丝们对他的崇拜又加深了几分。

而林云也在这个过程中，收获了满满的快乐和成就感。

他没想到，自己曾经热爱的数学，在这个粉丝群里，能成为连接他和粉丝们的桥梁，让彼此在知识的海洋里共同探索，共同成长。

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