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第101章（第1页）

时而眉尖轻蹙若遇疑难之坎，时而展颜舒意似有所得之喜，我于侧侍奉虽未可尽解其算，然亦深感其专注之忱志意之坚。

再见及于三角与勾股之合参，姐姐先取直角之形定其锐者为一角，其间，正弦角之幂与余弦角之幂相并为一，此乃三角学之根基。

姐姐遂由是推求半角之式，设半角为半之锐，依理有，余弦角等于一减二倍正弦半锐之幂，移项而得，正弦半锐等于正负方根下，一减余弦角除以二，姐姐取勾三股四弦五之特例，设其锐角之邻边为四，斜边为五，则余弦角为五分之四，代入半角之式以求正弦半锐，姐姐细加推算得正弦半锐为十分之一之方根，又以勾股之理验之，设半角所对边为对边之数，依理列算，对边之数之幂，加五分之四乘二分之五之幂，等于二分之五之幂，先解五分之四乘二分之五之幂得四，二分之五之幂为四分之二十五，遂得对边之数之幂为四分之九，故对边之数为二分之三，而正弦半锐等于对边之数除以二分之五亦为十分之一之方根，恰相契合，证半角之式无误。

继而思究倍角之式，正弦二倍角等于二倍正弦角乘余弦角，余弦二倍角等于余弦角之幂减正弦角之幂。

姐姐仍据勾股之形设勾为勾长之数，股为股长之数，弦为弦长之数，一锐角为锐，则正弦锐等于勾长之数除以弦长之数，余弦锐等于股长之数除以弦长之数，姐姐精心构作一与原直角之形相似，且角为二倍锐之形，于此形中依勾股之理及相似关联推求，据相似之理，对应边成比例，设新形之勾为新勾长之数，股为新股长之数，弦为新弦长之数，则新勾长之数与勾长之数、新股长之数与股长之数、新弦长之数与弦长之数之比皆同于相似比，而正弦二倍锐等于新勾长之数除以新弦长之数，余弦二倍锐等于新股长之数除以新弦长之数，由勾股之理新勾长之数之幂加新股长之数之幂等于新弦长之数之幂，又新勾长之数等于相似比乘勾长之数，新股长之数等于相似比乘股长之数，新弦长之数等于相似比乘弦长之数，代入而得相似比之幂乘勾长之数之幂与股长之数之幂之和，等于相似比之幂乘弦长之数之幂亦合勾股之理，再以正弦锐等于勾长之数除以弦长之数，余弦锐等于股长之数除以弦长之数推之，可得正弦二倍锐等于二倍勾长之数乘股长之数除以弦长之数之幂，即二倍正弦锐乘余弦锐，余弦二倍锐等于股长之数之幂减勾长之数之幂除以弦长之数之幂，即余弦锐之幂减正弦锐之幂，费尽心力终得证之，我观姐姐推证，虽繁复而不紊，条理井然，足见其深厚精醇。

至于勾股之理求几何最值之法，姐姐设一圆，圆心名之曰圆中半径称径长，圆外有一点号为点外，自点外引圆之切线，切点命为切处。

姐姐连圆中与点外，观之，切处与径长成直角之形，径长既定为常值，依勾股之理切处之幂等于圆中点外之距之幂减径长之幂，欲使切处之值最小，唯求圆中点外之距至微，姐姐沉虑良久，悟得圆中点外之距近极之时，即点外至圆心圆中之距最近刹那，亦唯当圆中点外之连线段垂直于过点外与圆心圆中之直线，圆中点外之距方为最小，由是，此最值之求豁然得解，姐姐由此例更思及椭圆双曲诸般圆锥之线，若有定点与定线求某相关线段最值亦或可借勾股之理通解，如椭圆者，设其方程为椭圆定式，有一定点号为定处曲线上一动点名为动处，姐姐欲求定点与动点之距最值，先连圆中与定处、圆中与动处，于三角形内，定点与动点之距之幂，等于圆中与定处之距之幂加圆中与动处之距之幂，减二倍圆中与定处之距乘圆中与动处之距乘夹角余弦，而圆中与动处之距与椭圆之关联，可由椭圆方术表述再以勾股之理之思，化诸量为直角之形边际关系，设椭圆上一点坐标合于参数之式，圆中与动处之距可表为一式，圆中与定处之距为确定之值，姐姐将此诸量代入定点与动点之距之式，历经繁难运算化简以求最值，其间虽计算繁冗，然姐姐心无旁骛步步为营终得近于正果。

姐姐于演草之际诸般神态尽现，或持笔急书，若灵思泉涌沛然莫御，或停笔凝思，目光幽邃似洞穿纸背，直入数象玄冥，我既常见姐姐专注心亦生敬，每见其有所悟彻我亦随喜，虽未能同其深研精究然亦感知数术魅力，若磁石引针令人心驰神往。

余晖将再姐姐犹未辍，取古昔算题集册择勾股相关者以今所悟之法解之，有一题云：“矩形之地，长阔相去若干，对角之络长若干，求长与阔各几何。”

姐姐设长为长数，阔为阔数，对角之络为对角数，依勾股之理列之，长数之幂加阔数之幂等于对角数之幂，又有长阔差或和之条件，若长阔差为差数，即长数减阔数等于差数，则长数等于阔数加差数，代入勾股之式得阔数加差数之幂加阔数之幂等于对角数之幂，展开为阔数之幂加二倍差数阔数加差数之幂加阔数之幂等于对角数之幂，整理得二倍阔数之幂加二倍差数阔数加差数之幂减对角数之幂等于零。

姐姐以二方解法，先算判别式为某式，则阔数等于负差数加减方根下某式除以二乘二进而可得长数等于阔数加差数，又有题云：“山高难测，于山下平处某点望山顶，仰角若干，退行若干步，再望山顶，仰角又若干，求山高。”

姐姐以三角之式表仰角关联设初仰角为初仰，退行若干步后仰角为后仰，设山高为山高之数人与山初始距为初距，则正切初仰等于山高之数除以初距，正切后仰等于山高之数除以初距加步数，由正切初仰等于山高之数除以初距可得初距等于山高之数除以正切初仰，代入正切后仰等于山高之数除以初距加步数得正切后仰等于山高之数除以山高之数除以正切初仰加步数，整理得山高之数等于步数乘正切初仰乘正切后仰除以正切初仰减正切后仰，姐姐于此类算题皆能巧施勾股之理与三角之法一一破之。

待万籁俱寂姐姐方辍笔，整其稿纸虽面容稍显倦意，然目光炯炯似有未尽之思亦怀来日之期，姐姐呓言所思所得，其言滔滔若江河奔涌无有断绝，我悉听之亦沉醉于数术奇妙之境，深感此学之海浩瀚无垠，姐姐之所探虽若沧海一粟，然此粟之中实蕴无穷之力。

还不及我们以此力渡丧亲之痛爹便又娶，自此以后家道中落日甚一日，爹愈性苛愈驭下寡恩，家中用度常缺米粮时虞不继布帛亦渐稀微，姐姐与我虽极力操持谋财，然困厄之境竟无转机，值此艰难之际偏逢清军入关，天下大乱朝代更迭，四海之内皆罹兵燹之灾。

哥哥素有壮志，值此国变哀恸愤懑，矢志殉国以全忠义，因爹泣涕劝阻方止其轻生之念，然经此一劫，哥哥心灰意冷无意功名，唯思教书入社以传学授业守节明志，然欲入社需纳束修社费，家中贫寒无余财可支，家中人人皆忧相议纷纭，爹竟有令姐议亲之谋。

至有媒婚登门为姐姐议亲，却竟是与人作续弦之议，我闻此讯心中愤懑难平，然亦知无力回天，唯暗自发誓定要护姐姐周全。

及我代姐姐上花轿之日满心凄凉，待花轿起行却仍不见姐姐前来相送，我心伤愈甚泪盈于眶，行至半路忽觉轿外有异，不过一会儿众人皆昏厥倒地，我正惊愕间姐姐现身，目光灼灼直视我目，唯问一言：“娘死前同妳说了什么？”

我见姐姐心中悲喜交集，如实答之：“娘说，我或许才是这个家唯一的退路，要我想尽一切办法护住妳…”

姐姐闻之，良久无言，唯叹道：“我原以为我会是妳们的前路，可这世间不过是个人各走各人的路，我的路我自己来选走哪一条…”

言毕，我只觉一阵晕眩遂昏然倒地。

待我悠悠醒转已身处远处，我欲回城完婚以全大局，姐姐见状面有愠色，厉声激我：“回去？这个世界上最蠢的便是将自己解决不了的问题抛给别人解决，王锡循！

娘走前告诉我妳才是这个家最聪明的，我和王锡阐还只是纸上演兵时妳便已经将这些落在了一次又一次的刺绣上化作了一次又一次的钱财人心，妳甘心吗？！”

我欲言甘心，然双唇颤抖竟难以成言唯泪水潸然而下，姐姐见我悲戚之态心有不忍，缓缓解我入怀轻声道：“不回去了，我们都不会去了…”

此年姐姐十四我十二，我们死于王家族谱之上。

3.

姐妹于奔亡之始，所携财货未裕诸般务需措办，衣食住行咸待经营，有粟麦粱诸般谷粟，粟者价贱食之腹饱力微，麦则价昂养身之功著，粱于困厄之际可资济急。

姐姐遂谋以有限之财，市谷粟而善配之，期身无馁馁之患财无虚耗之虞。

遂设银钱之数五十两，粟米每斗价银三钱，人食粟米可饱腹五日，其养身之效，以数度之，作三；麦面每斗价银五钱，一人食麦面可饱腹四日，养身之效为五；高粱每斗价银二钱，一人食高粱可饱腹三日，养身之效为二，且行囊至多容谷粟二十斗，欲求一关乎饱腹日数与养身之效之的数函数极大，其养身之效权重为四，饱腹日数权重为六。

其式始为六乘五倍粟米斗数加四倍麦面斗数加三倍高粱斗数，再加四乘三倍粟米斗数加五倍麦面斗数加二倍高粱斗数，合而化简得四十二倍粟米斗数加四十四倍麦面斗数加二十六倍高粱斗数，然有限制之规，一则粟米价乘粟米斗数、麦面价乘麦面斗数、高粱价乘高粱斗数三者相加之和不得逾五十两，即三钱乘粟米斗数加五钱乘麦面斗数加二钱乘高粱斗数不可越五十两之限；二则粟米斗数、麦面斗数、高粱斗数三者之和不得逾二十斗。

姐姐乃悉心推究筹算，先以消元之法，由第二式得高粱斗数等于二十减粟米斗数减麦面斗数，代入第一式得：三乘粟米斗数加五乘麦面斗数加二乘二十减粟米斗数减麦面斗数不可逾五十，化简得粟米斗数加三乘麦面斗数不得逾十。

再令粟米斗数为零，得麦面斗数最大约为三；令麦面斗数为零，得粟米斗数最大为十。

而后于可行域内择数试算，经屡屡相较，得粟米斗数为七，麦面斗数为一，高粱斗数为十二时数值最大。

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