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第二十四章首日竞赛

2009年，适逢国际数学奥林匹克IMO举办50届，国际数学奥林匹克委员会举行了50周年庆典活动。

在这场50周年庆典，出现了很多闻名世界的数学家。

庆典结束后，则是正式比赛，来自全球105个国家和地区的近560名学生将参加本届比赛。

整个比赛持续一周时间。

比赛选手将在这为期一周的时间内攻克数学难题，争夺数学奥林匹克的金银铜牌。

每个国家的参赛选手，都抱着为国争光的决心前来征战世界。

3月15日，竞赛拉开帷幕

IMO一共六道题，今天考三题，明天考三题，每题7分，满分是42分。

每个竞赛日的竞赛时间为4.5个小时，可携带任何文具及作图工具，一切电子设备不被允许带入赛场。

因为竞赛时间较长，各选手可自带食物饮料进场，可并携带不多于三本的参考资料。

但是秦元清除了带了一些吃喝的，其他参考资料一本没带，因为按照以前的情况，参考资料基本上没有什么用的，出题人早已考虑到这些，要是参考资料能够找到解决办法，说明出题人的出题水平太烂了。

这就如同国内考试，开卷考往往比闭卷考难得多。

因为本国选手拿到题目，都已经是换成本国文字，所以选手拿到试卷，都不会存在任何语言文字的障碍。

秦元清拿到试卷，只有三题，第一题是最简单的，要是连第一题都不会做，那么后面两题都不用考虑了。

秦元清很冷静，第一道题最简单，是送分题，可是同样的，一不小心就变成了送命题。

“1、n是一个正整数，a1，a2.....ak（k≥2）是{1，2，......，n}中的不同整数，并且n|ai（ai+1-1）对于所有i=1，2，.......，k-1都成立，证明：ak（a1-1）不能被n整除。”

秦元清看了三遍题目，心中暗骂一下提供这题的人以后生孩子没屁眼，竟然暗设陷阱，一个不小心就会答错掉。

秦元清开始作答，首先利用数学归纳法证明：对任意的整数i（2≤i≤k），都有被整除，得出当i=2时，由已知得能被乘除的结论成立。

一步步以此展开，最后得出，ak（a1-1）不能被n整除的结论。

然后秦元清又看向第二道题。

“△ABC外接圆的圆心为O，P、Q分别在线段CA、AB上，K、L、M分别是BP、CQ、PQ的中点，圆Г过K、L、M并且与PQ相切。

证明：OP=OQ。”

秦元清这一题审题完成，倒是觉得这一题比上一题容易一些，没有设陷阱。

先是做了一个圆，然后化作△ABC，然后又作出CA、AB线段以及P、Q二点，然后标出BP、CQ、PQ的中点K、L、M。

最后作出圆Г。

随后以直线PQ与圆Г相切，相切点M，然后通过弦切角定理得出∠QMK=∠MLK。

由于点K、M分别是BP、PQ的中点，所以KM∥BQ，从而得出∠QMK=∠AQP。

因此得到∠MLK=∠AQP。

同理，∠MKL=∠APQ。

根据角的相等，得到△MKL∽△APO，从而得到MKML=APAQ

因为K、L、M分别是线段BP、CQ、PQ的中点，所以得到KM=BQ2，LM=CP2，将此带入上式得BQCP=APAQ，将式子转为AP·CP=AQ·BQ。

通过圆幂定理知OP2=OA2-AP·CP=OA2-AQ·BQ=OQ2

所以，得出结论OP=OQ。

秦元清连检查都没有检查，将抽向的数学问题转为图像，这个是他擅长的地方，他有十全的把握证明。

紧接着秦元清看向第三题，“3、S1，S2，S3，......是严格递增的正整数数列，并且它的子数列SS1、SS2、SS3，.....和SS1+1，SS2+1，SS3+1......都是等差数列。

证明：S1，S2，S3......是一个等差数列。”

看着这一题，秦元清微皱起眉头，这一题明显比前面两道题难得多，秦元清将已知条件稍微捋了一下，这一道题融合了等差数列、以及转换法。

秦元清一步一步地展开，通过数列以及子数列都是严格的递增的正整数数列，设Ssk=a+（k-1）d1，SSk+1=b+（k-1）d2（k=1，2......，a、b、d1、d2∈N+）。

将问题转为函数、数列后，以Sk<Sk+1<Sk+1及{Sn}的单调性，知对任意的正整数k，有SSk<Ssk+1≤SSk+1。

即a+（k-1）d1<b+（k-1）d2≤a+kd1

因此a-b≤（k-1）（d2-d1）≤a+d1-b。

由k的任意性知d2-d1=0，得到d2=d1。

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